Calcular el area de una figura en el plano cartesiano

Cuando se trata de resolver problemas de geometría, una de las habilidades más importantes es saber cómo calcular el área de una figura en el plano cartesiano. Aunque puede parecer complicado al principio, con un poco de práctica y conocimiento básico de matemáticas, cualquier persona puede dominar esta habilidad. En este artículo, exploraremos cómo calcular el área de diferentes figuras en el plano cartesiano, desde triángulos hasta polígonos complejos.

¿Qué es el plano cartesiano?

Antes de comenzar a calcular el área de una figura en el plano cartesiano, es importante comprender lo que es el plano cartesiano. El plano cartesiano es un sistema de coordenadas bidimensional que se utiliza para representar puntos en un plano. El plano está dividido en dos ejes, el eje horizontal (también conocido como el eje x) y el eje vertical (también conocido como el eje y). Cada punto en el plano cartesiano se representa por un par de números ordenados (x, y), donde x es la coordenada horizontal y y es la coordenada vertical.

Área de un triángulo en el plano cartesiano

El área de un triángulo en el plano cartesiano se puede calcular utilizando la fórmula básica para el área de un triángulo, que es:

Área = 1/2 * base * altura

Para aplicar esta fórmula en el plano cartesiano, primero debemos encontrar la longitud de la base y la altura del triángulo. La base del triángulo es la distancia entre dos puntos en el eje x, mientras que la altura es la distancia entre uno de esos puntos y el tercer punto en el triángulo, medida perpendicular a la base.

Ejemplo:

Supongamos que tenemos un triángulo con los siguientes puntos en el plano cartesiano: A (3, 4), B (7, 4) y C (5, 8).

Primero, encontramos la longitud de la base AB, que es 7 - 3 = 4. Luego, encontramos la altura del triángulo desde el punto C hasta la base AB. Esto es, la distancia perpendicular desde el punto C hasta la línea AB. Para encontrar esta altura, necesitamos saber la ecuación de la línea AB. La ecuación de la línea AB es y = 4, ya que los puntos A y B tienen la misma coordenada y. La altura desde el punto C hasta la línea AB es la distancia perpendicular desde el punto C hasta la línea AB. Podemos encontrar esta distancia utilizando la fórmula de la distancia entre un punto y una línea:

Altura = |(y2 - y1)x1 - (x2 - x1)y1 + x2y1 - y2x1| / √((y2 - y1)^2 + (x2 - x1)^2)

Sustituyendo los valores, tenemos:

Altura = |(4 - 8)3 - (7 - 3)4 + 7(4) - 4(3)| / √((4 - 8)^2 + (7 - 3)^2)

Altura = 16 / √80

Altura = 4√5

Ahora que conocemos la longitud de la base y la altura del triángulo, podemos calcular el área utilizando la fórmula:

Área = 1/2 * base * altura

Área = 1/2 * 4 * 4√5

Área = 8√5

Por lo tanto, el área del triángulo es de 8√5 unidades cuadradas.

Área de un cuadrilátero en el plano cartesiano

El área de un cuadrilátero en el plano cartesiano se puede calcular utilizando la fórmula de la "diagonal". La diagonal es la línea que conecta dos vértices opuestos del cuadrilátero. La fórmula para el área del cuadrilátero es:

Área = 1/2 * |(x1y2 + x2y3 + x3y4 + x4y1) - (y1x2 + y2x3 + y3x4 + y4x1)|

Ejemplo:

Supongamos que tenemos un cuadrilátero con los siguientes puntos en el plano cartesiano: A (2, 4), B (6, 4), C (5, 7) y D (3, 7).

Primero, encontramos la longitud de la diagonal AC. La longitud de la diagonal AC es la distancia entre los puntos A y C, que es √((5 - 2)^2 + (7 - 4)^2) = √18. Luego, encontramos la longitud de la diagonal BD. La longitud de la diagonal BD es la distancia entre los puntos B y D, que es √((6 - 3)^2 + (4 - 7)^2) = √18.

Ahora podemos aplicar la fórmula del área del cuadrilátero:

Área = 1/2 * |(x1y2 + x2y3 + x3y4 + x4y1) - (y1x2 + y2x3 + y3x4 + y4x1)|

Área = 1/2 * |(2 x 7 + 6 x 7 + 5 x 4 + 3 x 4) - (4 x 6 + 4 x 5 + 7 x 3 + 7 x 2)|

Área = 1/2 * |(14 + 42 + 20 + 12) - (24 + 20 + 21 + 14)|

Área = 1/2 * 29

Área = 14.5

Por lo tanto, el área del cuadrilátero es de 14.5 unidades cuadradas.

Área de un polígono en el plano cartesiano

Para calcular el área de un polígono en el plano cartesiano con más de cuatro lados, podemos dividir el polígono en triángulos y luego sumar las áreas de los triángulos. En otras palabras, podemos aplicar la fórmula del área de un triángulo a cada uno de los triángulos formados por los puntos del polígono y luego sumar las áreas de los triángulos.

Ejemplo:

Supongamos que tenemos un pentágono con los siguientes puntos en el plano cartesiano: A (3, 2), B (6, 5), C (5, 7), D (2, 5) y E (1, 2).

Primero, dividimos el pentágono en triángulos. Podemos hacer esto trazando diagonales desde un vértice a todos los demás vértices, como se muestra en la siguiente figura:


Ahora podemos aplicar la fórmula del área del triángulo para cada uno de los triángulos y sumar las áreas:

Área = Área triángulo ABC + Área triángulo ACD + Área triángulo ADE

Para el triángulo ABC:

Base = 6 - 3 = 3

Altura = distancia perpendicular desde el punto C hasta la línea AB.

La ecuación de la línea AB es