Posiciones relativas de una recta y una circunferencia ejercicios resueltos

Las posiciones relativas entre una recta y una circunferencia son muy importantes en geometría, ya que permiten comprender la relación que existe entre estos dos elementos en un plano cartesiano. En este artículo, te explicaremos las distintas posiciones relativas de una recta y una circunferencia, y te daremos algunos ejercicios resueltos para que puedas practicar.

Posiciones relativas entre una recta y una circunferencia

En geometría, existen tres posiciones relativas entre una recta y una circunferencia:

- La recta es secante a la circunferencia
- La recta es tangente a la circunferencia
- La recta no corta la circunferencia

Recta secante a la circunferencia

Cuando una recta y una circunferencia se cortan en dos puntos, la recta se dice que es secante a la circunferencia. En esta posición, la recta atraviesa la circunferencia en dos puntos diferentes.

Ejercicio resuelto:

Dada la circunferencia de ecuación (x-2)² + (y+1)² = 5 y la recta de ecuación y = 2x - 3, encuentra los puntos donde la recta corta la circunferencia.

Primero, igualamos las ecuaciones de la recta y la circunferencia:

(x-2)² + (y+1)² = 5
y = 2x - 3

Reemplazando y en la ecuación de la circunferencia, tenemos:

(x-2)² + (2x-3+1)² = 5
x² - 4x + 4 + 4x² - 8x + 5 = 5
5x² - 12x + 4 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos:

x1 = 0.8
x2 = 0.4

Reemplazando los valores de x en la ecuación de la recta, obtenemos los puntos donde la recta corta la circunferencia:

P1 = (0.8, 0.6)
P2 = (0.4, -0.2)

Por lo tanto, la recta y la circunferencia se cortan en los puntos P1 y P2.

Recta tangente a la circunferencia

Cuando una recta y una circunferencia se tocan en un solo punto, la recta se dice que es tangente a la circunferencia. En esta posición, la recta es perpendicular al radio que se une al centro de la circunferencia con el punto de tangencia.

Ejercicio resuelto:

Dada la circunferencia de ecuación (x-3)² + (y+2)² = 4 y la recta de ecuación y = -2x + 2, encuentra el punto donde la recta es tangente a la circunferencia.

Primero, igualamos las ecuaciones de la recta y la circunferencia:

(x-3)² + (y+2)² = 4
y = -2x + 2

Reemplazando y en la ecuación de la circunferencia, tenemos:

(x-3)² + (-2x+2+2)² = 4
(x-3)² + (-2x+4)² = 4

Derivando la ecuación, obtenemos:

2(x-3) - 2(2x-4) = 0
-2x + 2 = 0
x = 1

Reemplazando x en la ecuación de la recta, obtenemos:

y = -2(1) + 2
y = 0

Por lo tanto, la recta es tangente a la circunferencia en el punto (1,0).

Recta que no corta la circunferencia

Cuando una recta y una circunferencia no tienen puntos en común, la recta se dice que no corta la circunferencia.

Ejercicio resuelto:

Dada la circunferencia de ecuación (x-1)² + (y-2)² = 9 y la recta de ecuación y = x + 1, determina si la recta corta o no la circunferencia.

Primero, igualamos las ecuaciones de la recta y la circunferencia:

(x-1)² + (y-2)² = 9
y = x + 1

Reemplazando y en la ecuación de la circunferencia, tenemos:

(x-1)² + (x-1)² + 4x + 1 - 4 - 9 = 0
2(x-1)² + 4x - 12 = 0
(x-2)² + (x-1)² = 13

La ecuación de la circunferencia no tiene solución real, por lo tanto, la recta no corta la circunferencia.

Conclusión

En resumen, Las posiciones relativas entre una recta y una circunferencia son tres: secante, tangente y que no corta. La recta secante atraviesa la circunferencia en dos puntos diferentes, la recta tangente toca la circunferencia en un solo punto y la recta que no corta no tiene puntos en común con la circunferencia. Con la práctica de ejercicios resueltos, se pueden comprender mejor estas posiciones relativas y su aplicación en problemas de geometría.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es una circunferencia?

Una circunferencia es una figura geométrica plana que consiste en todos los puntos en un plano que están a una distancia fija de un punto central.

2. ¿Qué es una recta secante?

Una recta secante es una recta que corta una figura geométrica, como una circunferencia, en dos puntos diferentes.

3. ¿Qué es una recta tangente?

Una recta tangente es una recta que toca una figura geométrica, como una circunferencia, en un solo punto.

4. ¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática?

Una ecuación cuadrática se puede resolver mediante la aplicación de la fórmula general: x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a.

5. ¿Cómo se pueden aplicar las posiciones relativas entre una recta y una circunferencia en la vida cotidiana?

Las posiciones relativas entre una recta y una circunferencia se pueden aplicar en la construcción de puentes, arcos, círculos viales, entre otros. Además, son útiles en la programación de juegos y animaciones en 2D.