Prueba de hipotesis para la diferencia de proporciones ejercicios resueltos

En estadística, la prueba de hipótesis es una herramienta crucial para determinar si una diferencia observada en un conjunto de datos es significativa o simplemente el resultado del azar. Una aplicación común de la prueba de hipótesis es la comparación de proporciones entre dos grupos. En este artículo, te presentaremos algunos ejercicios resueltos para la prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones.

Conceptos básicos

Antes de profundizar en los ejercicios, es importante repasar algunos conceptos básicos. En la prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones, se comparan las proporciones de dos grupos para determinar si hay una diferencia significativa entre ellas. Los dos grupos pueden ser independientes (por ejemplo, dos grupos de pacientes tratados con diferentes medicamentos) o relacionados (por ejemplo, un grupo de pacientes antes y después del tratamiento).

La hipótesis nula (H0) establece que no hay diferencia significativa entre las proporciones de los dos grupos, mientras que la hipótesis alternativa (HA) sugiere que hay una diferencia significativa. La prueba de hipótesis calcula una estadística de prueba y un valor p, que se utiliza para aceptar o rechazar la hipótesis nula.

Ejercicio 1

Supongamos que queremos comparar la proporción de hombres y mujeres que compran un producto en línea en dos sitios web diferentes. En el sitio web A, de 500 visitantes, 100 son hombres y 50 compran el producto. En el sitio web B, de 700 visitantes, 200 son hombres y 100 compran el producto. ¿Hay una diferencia significativa entre las proporciones de hombres y mujeres que compran el producto en los dos sitios web?

Para resolver este ejercicio, primero necesitamos calcular las proporciones de hombres y mujeres que compran el producto en cada sitio web:

- Sitio web A: 50/500 = 0.1
- Sitio web B: 100/700 = 0.143

A continuación, podemos establecer las hipótesis nula y alternativa:

- H0: La proporción de hombres y mujeres que compran el producto es la misma en los dos sitios web.
- HA: La proporción de hombres y mujeres que compran el producto es diferente en los dos sitios web.

Podemos utilizar la prueba de diferencia de proporciones z para calcular la estadística de prueba y el valor p. La fórmula para la estadística de prueba es:

z = (p1 - p2) / sqrt(p*(1-p)*(1/n1 + 1/n2))

donde p es la proporción combinada de éxitos (en este caso, la tasa de éxito general de compra en línea), n1 y n2 son los tamaños de muestra de los dos grupos, y p1 y p2 son las proporciones de éxito en cada grupo. En este ejercicio, p = (50 + 100) / (500 + 700) = 0.105 y n1 = 500, n2 = 700, p1 = 0.1 y p2 = 0.143.

Al calcular la estadística de prueba, obtenemos:

z = (0.1 - 0.143) / sqrt(0.105*(1-0.105)*(1/500 + 1/700)) = -2.16

Utilizando una tabla z o una calculadora estadística, podemos determinar que el valor p asociado es de 0.031. Como el valor p es menor que el nivel de significancia (generalmente 0.05), podemos rechazar la hipótesis nula y concluir que hay una diferencia significativa entre las proporciones de hombres y mujeres que compran el producto en los dos sitios web.

Ejercicio 2

Supongamos que queremos comparar la proporción de estudiantes de dos universidades que prefieren una marca de bebida energética. En la Universidad A, de 300 estudiantes encuestados, 100 prefieren la marca A. En la Universidad B, de 400 estudiantes encuestados, 130 prefieren la marca A. ¿Hay una diferencia significativa en las proporciones de estudiantes que prefieren la marca A en las dos universidades?

En este ejercicio, podemos calcular las proporciones de estudiantes que prefieren la marca A en cada universidad:

- Universidad A: 100/300 = 0.333
- Universidad B: 130/400 = 0.325

Podemos establecer las hipótesis nula y alternativa:

- H0: La proporción de estudiantes que prefieren la marca A es la misma en las dos universidades.
- HA: La proporción de estudiantes que prefieren la marca A es diferente en las dos universidades.

Podemos utilizar la prueba de diferencia de proporciones z para calcular la estadística de prueba y el valor p. En este ejercicio, p = (100 + 130) / (300 + 400) = 0.328, n1 = 300, n2 = 400, p1 = 0.333 y p2 = 0.325.

Al calcular la estadística de prueba, obtenemos:

z = (0.333 - 0.325) / sqrt(0.328*(1-0.328)*(1/300 + 1/400)) = 0.39

Utilizando una tabla z o una calculadora estadística, podemos determinar que el valor p asociado es de 0.697. Como el valor p es mayor que el nivel de significancia, no podemos rechazar la hipótesis nula y concluir que no hay una diferencia significativa en las proporciones de estudiantes que prefieren la marca A en las dos universidades.

Ejercicio 3

Supongamos que queremos comparar la proporción de hombres y mujeres que votaron por dos candidatos diferentes en una elección. En el primer candidato, de 500 votantes, 100 son hombres y 60 votan por él. En el segundo candidato, de 700 votantes, 200 son hombres y 100 votan por él. ¿Hay una diferencia significativa en las proporciones de hombres y mujeres que votaron por los dos candidatos?

Podemos calcular las proporciones de hombres y mujeres que votaron por cada candidato:

- Candidato 1: 60/500 = 0.12
- Candidato 2: 100/700 = 0.143

Podemos establecer las hipótesis nula y alternativa:

- H0: La proporción de hombres y mujeres que votaron por los dos candidatos es la misma.
- HA: La proporción de hombres y mujeres que votaron por los dos candidatos es diferente.

Podemos utilizar la prueba de diferencia de proporciones z para calcular la estadística de prueba y el valor p. En este ejercicio, p = (60 + 100) / (500 + 700) = 0.092, n1 = 500, n2 = 700, p1 = 0.12 y p2 = 0.143.

Al calcular la estadística de prueba, obtenemos:

z = (0.12 - 0.143) / sqrt(0.092*(1-0.092)*(1/500 + 1/700)) = -1.81

Utilizando una tabla z o una calculadora estadística, podemos determinar que el valor p asociado es de 0.070. Como el valor p es mayor que el nivel de significancia, no podemos rechazar la hipótesis nula y concluir que no hay una diferencia significativa en las