Como sacar puntos criticos de una funcion de dos variables

Cuando se trabaja con funciones de dos variables, uno de los conceptos fundamentales es el de los puntos críticos. Estos puntos son aquellos en los que la función no es diferenciable o su derivada es cero. Saber cómo sacar estos puntos es crucial para el análisis y la optimización de funciones. En este artículo, te explicaremos cómo sacar los puntos críticos de una función de dos variables.

¿Qué es una función de dos variables?

Antes de abordar los puntos críticos, es importante entender lo que es una función de dos variables. Una función de dos variables es aquella en la que la variable dependiente está determinada por dos variables independientes. Por ejemplo, la función f(x,y) = x^2 + y^2 es una función de dos variables, donde x e y son las variables independientes y f(x,y) es la variable dependiente.

¿Qué son los puntos críticos?

Los puntos críticos son aquellos en los que la función no es diferenciable o su derivada es cero. La derivada parcial de una función de dos variables se calcula de manera similar a la de una función de una variable, pero se mantiene una variable constante y se deriva con respecto a la otra.

Por ejemplo, si tenemos la función f(x,y) = 2x^2 + 3y^2, la derivada parcial con respecto a x sería f_x = 4x y la derivada parcial con respecto a y sería f_y = 6y.

Cómo sacar los puntos críticos

Para sacar los puntos críticos, debemos igualar las derivadas parciales a cero y resolver el sistema de ecuaciones resultante. En nuestro ejemplo anterior, igualar f_x = 0 y f_y = 0 nos lleva a las ecuaciones:

4x = 0
6y = 0

La solución para estas dos ecuaciones es x = 0 e y = 0. Por lo tanto, el punto crítico de la función f(x,y) = 2x^2 + 3y^2 es (0,0).

Tipos de puntos críticos

Existen tres tipos de puntos críticos: máximos locales, mínimos locales y puntos silla. Para determinar el tipo de punto crítico, se utiliza la matriz hessiana de la función, que es una matriz cuadrada de segundas derivadas parciales.

Si la matriz hessiana es positiva definida, entonces el punto crítico es un mínimo local. Si es negativa definida, entonces es un máximo local. Si la matriz tiene valores tanto positivos como negativos, entonces es un punto silla.

Ejemplo con matriz hessiana

Si tenemos la función f(x,y) = x^2 - 2xy + y^2, podemos calcular su matriz hessiana:

|f_xx f_xy|
|f_xy f_yy|

Donde f_xx es la segunda derivada parcial de la función con respecto a x, f_xy es la segunda derivada parcial con respecto a x e y, f_yy es la segunda derivada parcial con respecto a y.

En este caso, la matriz hessiana sería:

|2 -2|
|-2 2|

Esta matriz tiene un determinante positivo y traza positiva. Por lo tanto, el punto crítico de la función f(x,y) = x^2 - 2xy + y^2 es un mínimo local.

Conclusión

En resumen, Los puntos críticos son aquellos en los que la función no es diferenciable o su derivada es cero. Para sacar los puntos críticos de una función de dos variables, se igualan las derivadas parciales a cero y se resuelve el sistema de ecuaciones resultante. Para determinar el tipo de punto crítico, se utiliza la matriz hessiana de la función.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una derivada parcial?

Una derivada parcial es la derivada de una función de varias variables con respecto a una de sus variables, manteniendo las demás variables constantes.

¿Cómo se calcula la matriz hessiana?

La matriz hessiana se calcula a partir de las segundas derivadas parciales de la función.

¿Qué significa que un punto crítico sea un máximo local?

Un punto crítico es un máximo local si la función es más grande en ese punto que en los puntos cercanos, pero no necesariamente es el máximo absoluto de la función.

¿Qué significa que un punto crítico sea un mínimo local?

Un punto crítico es un mínimo local si la función es más pequeña en ese punto que en los puntos cercanos, pero no necesariamente es el mínimo absoluto de la función.

¿Qué es un punto silla?

Un punto silla es un punto crítico en el que la función tiene valores tanto positivos como negativos a su alrededor, por lo que no es ni un máximo ni un mínimo local.